opebet滚球投注最好是像之前讲范畴一样

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  路上行走的人是一个“元素”,你脑海中的思想也可以看成一个“元素”,你正在进行的某种行为也可以看成是一个“元素”。我们把许多的“元素”打包带走,就会形成一个“

  元素与元素之间不是孤立的,而是具有许许多多的“联系”的。但是“联系”是一种空泛的词语,它既可以表示元素与元素之间所有联系的集合,也可以表示元素与元素之间所有联系之中的某一条联系。为了使得描述的对象不那么空泛,我们用专有名词“态射”来指代元素与元素之间所有联系中的某一条联系。( 记住!只描述一条! )

  态射也可以看成一种元素,所以态射之间也会存在态射。而元素在某种程度上也可以看成一种态射,所以事实上,元素和态射其实是一种东西( 这句话不理解没关系,已经超越了范畴论的内容 )。

  一堆元素,以及元素之间的所有态射所构成的一种代数结构,便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物,因为集合和范畴都含有许多的元素,但集合不强调态射,范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个元素,所以范畴与范畴之间也会存在态射,范畴和态射又可以构成新的范畴。( 俄罗斯套娃你喜欢吗? )

  上述话语已经对范畴和态射有了个简单的描述,现在我们引入严格精确的数学定义:

  既然态射是用来描述联系的,而联系又是有很多不同种类的,那么态射也会有不同的种类。

  个人感觉上述的划分其实并不全面,当然,也有可能是我的见识还太少了。有兴趣的读者可以研究一下,说不定可以水篇论文出来( 狗头保命,大佬勿锤 )。

  我们将范畴与范畴之间的映射称之为“函子”。映射是一种特殊的态射,所以函子也是一种态射。我们可以利用范畴和函子构建一种新的范畴。

  而函子本身也可以看成一种元素,所以函子之间也会存在态射。这种函子之间的态射我们称之为“自然变换”。

  要是感觉自然变换的定义太抽象的话,可以结合我之前的描述和下面这张图来一起理解:

  因为多数范畴论初学者总抱怨难以理解泛性质的具体概念,所以这部分我会其他部分讲得更详细。我们先描述泛态射,再描述泛性质。

  这段数学定义里的符号有点多,但它所描述的内容其实就是我之前的黑体字。理解了黑体字部分的话,应该就可以理解相应的数学定义了。

  并非所有范畴中都存在泛态射,泛态射在一个集合中也不一定唯一。一个泛态射和一个同构映射可以构成另一个泛态射,除此之外,其他任何不是泛态射的态射不可以组合成泛态射。泛态射之所以具有这种性质,是因为这种态射具有“泛性质”。

  什么是泛性质?简单来说,opebet滚球投注能够被所有元素所拥有的元素,就可以称之为“泛元素”。态射是一种元素,所以能够成为所有态射的分解因子的态射就被称之为泛态射。向量空间的基底可以称之为“泛向量”。那么所有“性质”所拥有的性质就是“泛性质”。

  泛性质虽然可以被说明,但是却很难用数学语言去定义。我们一般都会用泛态射为载体去承担泛性质的相关说明。一些比较有名地泛态射的例子有:群的直积、自由群、矩阵的直和、张量积等等。

  这里我来简单说明一下“极限”的例子。这里的极限并不是数学分析里的极限,而是范畴论意义下的极限。范畴论中有两种极限:极限和上极限。因为极限本质上也是一种泛性质,所以关于极限的具体化说明我就不做了,直接看数学定义吧。

  所以极限又被称之为“泛锥体”,它本身是一种具有泛性质的锥体。上极限的定义就比较类似,现在给你一个作业,看图将上极限的定义说出来:

  基础的范畴论里还有更多的和极限有关的内容,若是有兴趣的话,可以移步这篇子文章:

  1、第一小节关于态射的分类部分,直接放定义可能会让初学者感到抽象。这个部分需要改进一下。

  2、第三小节关于泛性质的讲解内容缺乏一系列深入的内容。缺乏内容如下:始对象和终对象、积和余积、等化子和余等化子、拉回和推出。

  3、第三小节关于极限的讲解过分地依赖于数学定义了( 其实就是懒 ),应该要修改一下。最好是像之前讲范畴一样,从具体过渡到抽象。

  6、本文缺乏对范畴类型的探讨,具体划分如下:阿贝尔范畴、完备范畴、笛卡尔闭性范畴、群胚。

  7、本文缺乏对范畴构造的探讨,具体内容如下:自由范畴、函子范畴、商范畴、积范畴、子范畴。

  8、本文缺乏并没有展示范畴论的更多哲学思考,具体为:范畴论是如何使用的,范畴论可以概括所有的数学吗。opebet滚球投注。。。。。

  为了防止文章过长,我将高级范畴论的内容放在另一篇子文章里面。这里留下该文章的链接。( 还没开写,写完后链接会放在下面 )

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